线性代数：增广矩阵学习笔记
增广矩阵
定义
对于一个
n
×
m
n\times m
n×m的矩阵
A
=
[
a
i
j
]
A=[a_{ij}]
A=[aij]，我们可以在它的右边加上一个
n
×
1
n\times1
n×1的列向量
b
b
b，得到一个
n
×
(
m
+
1
)
n\times(m+1)
n×(m+1)的矩阵
[
A
∣
b
]
\begin{bmatrix} A & \bigl| & b\end{bmatrix}
[A
b]，这个矩阵被称为
A
A
A的增广矩阵。
A
=
[
a
11
a
12
⋯
a
1
m
a
21
a
22
⋯
a
2
m
⋮
⋮
⋱
⋮
a
n
1
a
n
2
⋯
a
n
m
]
,
[
A
∣
b
]
=
[
a
11
a
12
⋯
a
1
m
∣
b
1
a
21
a
22
⋯
a
2
m
∣
b
2
⋮
⋮
⋱
⋮
∣
⋮
a
n
1
a
n
2
⋯
a
n
m
∣
b
n
]
A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1m}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2m}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nm} \end{bmatrix},\quad \begin{bmatrix} A & \bigl| & b\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1m} & | & b_1\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2m} & | & b_2\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & | & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nm} & | & b_n \end{bmatrix}
A=
a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋱⋯a1ma2m⋮anm
,[A
b]=
a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋱⋯a1ma2m⋮anm∣∣∣∣b1b2⋮bn
示例
对于矩阵
A
=
[
1
2
3
4
5
6
]
A=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6\end{bmatrix}
A=[142536]和列向量
b
=
[
7
8
]
b=\begin{bmatrix}7 \\ 8\end{bmatrix}
b=[78]，它们的增广矩阵为：
[
A
∣
b
]
=
[
1
2
3
∣
7
4
5
6
∣
8
]
\begin{bmatrix} A & \bigl| & b\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 7\\ 4 & 5 & 6 & | & 8 \end{bmatrix}
[A
b]=[142536∣∣78]
线性方程组与增广矩阵
定义
一个线性方程组可以表示为
A
x
=
b
Ax=b
Ax=b的形式，其中
A
A
A是系数矩阵，
x
x
x和
b
b
b都是列向量。
设
A
A
A为
m
×
n
m\times n
m×n的矩阵，
x
x
x和
b
b
b都是
n
n
n维列向量，则
A
x
=
b
Ax=b
Ax=b是一个包含
m
m
m个线性方程的线性方程组。这个线性方程组可以转化为增广矩阵
[
A
∣
b
]
\begin{bmatrix} A & \bigl| & b\end{bmatrix}
[A
b]的形式。
示例
下面的线性方程组可以表示为
A
x
=
b
Ax=b
Ax=b的形式：
{
x
1
+
2
x
2
−
3
x
3
=
−
1
4
x
1
+
5
x
2
+
6
x
3
=
2
7
x
1
+
8
x
2
+
9
x
3
=
5
\begin{cases} x_1+2x_2-3x_3=-1\\ 4x_1+5x_2+6x_3=2\\ 7x_1+8x_2+9x_3=5 \end{cases}
⎩
⎨
⎧x1+2x2−3x3=−14x1+5x2+6x3=27x1+8x2+9x3=5
对应的系数矩阵
A
A
A和列向量
b
b
b分别为：
A
=
[
1
2
−
3
4
5
6
7
8
9
]
,
b
=
[
−
1
2
5
]
A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & -3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix},\quad b=\begin{bmatrix} -1\\ 2\\ 5 \end{bmatrix}
A=
147258−369
,b=
−125
将它们组合在一起，得到增广矩阵
[
A
∣
b
]
\begin{bmatrix} A & \bigl| & b\end{bmatrix}
[A
b]：
[
A
∣
b
]
=
[
1
2
−
3
∣
−
1
4
5
6
∣
2
7
8
9
∣
5
]
\begin{bmatrix} A & \bigl| & b\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 & | & -1\\ 4 & 5 & 6 & | & 2\\ 7 & 8 & 9 & | & 5 \end{bmatrix}
[A
b]=
147258−369∣∣∣−125
增广矩阵的初等行变换
定义
3
3
3种初等行变换可以在增广矩阵上进行，它们分别是：
将某一行乘以一个非零常数
k
k
k；交换矩阵中的任意两行；将某一行加上另外一行的
k
k
k倍。
示例
下面是一个增广矩阵的例子：
[
1
2
−
3
∣
−
1
4
5
6
∣
2
7
8
9
∣
5
]
\begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 & | & -1\\ 4 & 5 & 6 & | & 2\\ 7 & 8 & 9 & | & 5 \end{bmatrix}
147258−369∣∣∣−125
对它进行以下初等行变换：
将第
2
2
2行加上第
1
1
1行的
−
4
-4
−4倍；交换第
2
2
2行和第
3
3
3行；将第
2
2
2行乘以
1
3
\frac{1}{3}
31。
得到新的增广矩阵为：
[
1
2
−
3
∣
−
1
0
−
3
18
∣
6
0
−
6
12
∣
4
]
→
[
1
2
−
3
∣
−
1
0
−
6
12
∣
4
0
−
3
18
∣
6
]
→
[
1
2
−
3
∣
−
1
0
−
2
4
∣
4
3
0
−
3
18
∣
6
]
→
[
1
2
−
3
∣
−
1
0
1
−
2
∣
−
2
3
0
−
3
18
∣
6
]
→
[
1
2
−
3
∣
−
1
0
1
−
2
∣
−
2
3
0
0
0
∣
0
]
\begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 & | & -1\\ 0 & -3 & 18 & | & 6\\ 0 & -6 & 12 & | & 4 \end{bmatrix}\to \begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 & | & -1\\ 0 & -6 & 12 & | & 4\\ 0 & -3 & 18 & | & 6 \end{bmatrix}\to \begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 & | & -1\\ 0 & -2 & 4 & | & \frac{4}{3}\\ 0 & -3 & 18 & | & 6 \end{bmatrix}\to \begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 & | & -1\\ 0 & 1 & -2 & | & -\frac{2}{3}\\ 0 & -3 & 18 & | & 6 \end{bmatrix}\to \begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 & | & -1\\ 0 & 1 & -2 & | & -\frac{2}{3}\\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{bmatrix}
1002−3−6−31812∣∣∣−164
→
1002−6−3−31218∣∣∣−146
→
1002−2−3−3418∣∣∣−1346
→
10021−3−3−218∣∣∣−1−326
→
100210−3−20∣∣∣−1−320
矩阵的行阶梯形式
定义
一个矩阵是行阶梯形式的，当且仅当它满足以下两个条件：
矩阵的第一行有非零元素；除第一行外，每一行的第一个非零元素的列数均大于前一行的该非零元素的列数。
示例
对于增广矩阵
[
A
∣
b
]
\begin{bmatrix} A & \bigl| & b\end{bmatrix}
[A
b]，如果它的行阶梯形式为：
[
1
2
−
3
∣
−
1
0
1
−
2
∣
−
2
3
0
0
0
∣
0
]
\begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 & | & -1\\ 0 & 1 & -2 & | & -\frac{2}{3}\\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{bmatrix}
100210−3−20∣∣∣−1−320
则我们可以直接得到线性方程组的解：
x
1
=
−
5
x
2
+
7
,
x
3
=
k
x_1=-5x_2+7,\quad x_3=k
x1=−5x2+7,x3=k
其中
k
k
k为任意实数。
矩阵的简化行阶梯形式
定义
一个矩阵是简化行阶梯形式的，当且仅当它是行阶梯形式的，并且满足以下两个条件：
主元素（即每一行第一个非零元素）都为
1
1
1；除主元素外，每一行的其余元素均为
0
0
0。
示例
对于增广矩阵
[
A
∣
b
]
\begin{bmatrix} A & \bigl| & b\end{bmatrix}
[A
b]，如果它的简化行阶梯形式为：
[
1
0
0
∣
−
5
3
0
1
0
∣
4
3
0
0
1
∣
0
]
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & -\frac{5}{3}\\ 0 & 1 & 0 & | & \frac{4}{3}\\ 0 & 0 & 1 & | & 0 \end{bmatrix}
100010001∣∣∣−35340
则我们可以直接得到线性方程组的解：
x
1
=
−
5
3
,
x
2
=
4
3
,
x
3
=
0
x_1=-\frac{5}{3},\quad x_2=\frac{4}{3},\quad x_3=0
x1=−35,x2=34,x3=0
矩阵的秩
定义
一个矩阵的秩是指其行阶梯形式的非零行数。
示例
对于增广矩阵
[
A
∣
b
]
\begin{bmatrix} A & \bigl| & b\end{bmatrix}
[A
b]，如果它的行阶梯形式为：
[
1
2
−
3
∣
−
1
0
−
2
4
∣
4
3
0
0
0
∣
0
]
\begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 & | & -1\\ 0 & -2 & 4 & | & \frac{4}{3}\\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{bmatrix}
1002−20−340∣∣∣−1340
则该矩阵的秩为
2
2
2。
总结
本文介绍了增广矩阵的定义和与线性方程组的关系，以及增广矩阵的初等行变换、矩阵的行阶梯形式和简化行阶梯形式、矩阵的秩等概念。在学习线性代数时，这些概念都非常重要，希望读者能够掌握。
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